Som- en verschilformules
cos(α - β )
Op een goniometrische cirkel bepalen de punten P en Q de hoeken α en β.
We kunnen de lengte van het lijnstuk |PQ| berekenen
- links: met de cosinusregel als de zijde van een willekeurige driehoek
- rechts: met de afstandsformule, want we kennen de coördinaten van P en Q.
|PQ|² = |OP|² + |OQ|² - 2 |OP|. |OQ| . cos(α - β )
de straal van een goniometrische cirkel = 1, dus:
|PQ|² = 1 + 1 - 2 . 1 . 1 . cos(α - β )
|PQ|² = 2 - 2 . cos(α - β )
|
|PQ|² = (cos α - cos β )² + (sin α - sin β )²
|PQ|² = cos² α - 2.cos α. cos β + cos² β
+ sin² α - 2.sin α. sin β + sin² β
we herschikken de termen:
|PQ|² = cos² α + sin² α + cos² β + sin² β
- 2.cos α. cos β - 2.sin α. sin β
we passen toe: cos² α + sin² α = 1
|PQ|² = 1 + 1 - 2.cos α. cos β - 2.sin α. sin β
|PQ|² = 2 - 2.cos α. cos β - 2.sin α. sin β
|PQ|² = 2 - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β)
|
Wanneer we beide berekeningen aan elkaar gelijkstellen, krijgen we :
2 - 2 cos(α - β ) = 2 - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β)
- 2 cos(α - β ) = - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β)
cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β
|
Daarmee hebben we een formule voor het verschil van twee hoeken:
cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β
cos(α + β )
α + β = α - ( - β )
Hierop kunnen we de verschilformule voor cosinus toepassen:
cos(α - (-β) ) = cos α. cos (-β) + sin α. sin (-β)
Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinus en tegengestelde sinus:
cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β
sin(α + β )
We gebruiken de eigenschap van complementaire hoeken: sin α = cos ( π/2 - α )
sin ( α + β ) = cos ( π/2 -( α + β ) )
We werken nu de haakjes van het rechterlid uit:
sin ( α + β ) = cos ( π/2 - α - β ) )
We mogen haakjes invoeren als volgt:
sin ( α + β ) = cos ( (π/2 - α) - β ) )
Hierop kunnen we de verschilformule voor cosinus toepassen:
sin ( α + β ) = cos (π/2 - α) . cos (β) + sin (π/2 - α) . sin (β)
We gebruiken opnieuw de eigenschap van complementaire hoeken: sin α = cos ( π/2 - α )
sin ( α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β
sin(α - β )
α - β = α + ( - β )
Hierop kunnen we de somformule voor sinus toepassen:
sin ( α + ( - β ) ) = sin α. cos (-β) + cos α. sin (-β)
tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinus en tegengestelde sinus
sin ( α -β ) = sin α. cos β - cos α. sin β
formules van Simpson
We kunnen in verschillende combinaties de som- en verschilformules
bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken:
sin(α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β
+ sin(α - β ) = sin α. cos β - cos α. sin β
sin(α + β ) + sin(α - β ) = sin α. cos β + cos α. sin β + sin α. cos β - cos α. sin β
zodat:
sin(α + β ) + sin(α - β ) = 2 . sin α. cos β
sin(α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β
- sin(α - β ) = - sin α. cos β + cos α. sin β
sin(α + β ) - sin(α - β ) = sin α. cos β + cos α. sin β - sin α. cos β + cos α. sin β
zodat:
sin(α + β ) - sin(α - β ) = 2 . cos α. sin β
cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β
+ cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β
cos(α + β ) + cos(α - β ) = cos α. cos β - sin α. sin β + cos α. cos β + sin α. sin β
zodat:
cos(α + β ) + cos(α - β ) = 2 . cos α. cos β
cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β
- cos(α - β ) = - cos α. cos β - sin α. sin β
cos(α + β ) - cos(α - β ) = cos α. cos β - sin α. sin β - cos α. cos β - sin α. sin β
zodat:
cos(α + β ) - cos(α - β ) = - 2 . sin α. sin β
We stellen nu
α + β = x en
α - β = y
Optellen en aftrekken van beide gelijkstellingen geeft als resultaat:
α + β = x α + β = x
+ (α - β = y) - (α - β = y)
2α = x + y 2β = x - y
α = x + y β = x - y
2 2
De vier eerdere formules met α en β kunnen we nu schrijven met x en y:
overzicht Simpson
| sin x +
sin y = 2 sin |
x + y
2 |
. cos |
x - y
2 |
| sin x -
sin y = 2 cos |
x + y
2 |
. sin |
x - y
2 |
| cos x +
cos y = 2 cos |
x + y
2 |
. cos |
x - y
2 |
| cos x -
cos y = - 2 sin |
x + y
2 |
. sin |
x - y
2 |
last modified: 24 January 2026 22:15